Математичні криві у фізиці
Поговоримо про найпростіші криві,
котрі часто зустрічаються при вивченні шкільного курсу фізики.
Пряма та коло.
Найбільш простими є пряма та коло, котрі, поза сумнівом, є найбільш вивченими. Найдивовижнішим для цих ліній є те, що пряма є частковим випадком кола великого радіуса.
Еліпс.
 |
| Мал. 1 |
Розглянемо криву, котру описує точка М так, що сума відстаней цієї точки до двох нерухомих точок F1, F2 є незмінною (мал.1). Отриману криву називають еліпсом.
Для еліпса є справедливим (мал. 2):
F1, F2 - фокуси еліпса,
F1М + F2М = А1А2 = const, де М – довільна точка еліпса,
В1, В2, А1, А2 – вершини еліпса,
А1F2 + A2F2 = А1А2 – велика піввісь еліпса,
В1В2 – мала піввісь еліпса.
 |
| Будуємо еліпс |
 | |
| Мал. 2 |
Еліпси зустрічаємо в природі та побуті.
1. Якщо у фокусі еліпса розмістити джерело світла, а сам еліпс виготовити з добре відполірованої поверхні металу, то промені, відбившись від цієї поверхні зберуться в другому фокусі (мал. 3).
 |
| Мал. 3 |
2. Кеплером встановлено закон, згідно якого планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце (мал. 4).
 |
| Мал. 4 |
Земля, обертаючись навколо Сонця, проходить перигелій взимку, а афелій – влітку. Однак еліпс є мало сплюснутим і з вигляду більше схожий до кола.
 |
| Мал. 5 |
3. Еліпс отримуємо в результаті розрізу циліндра, конуса січною (так, щоб площина розрізу не проходила через основу, мал. 5).
4. Еліпс спостерігаємо у повсякденному житті: крива, котра обмежує поверхню води в нахиленій склянці буде еліпсом, як і обриси ковбаси на мал. 6 .
 |
| Мал. 6 |
Парабола.
Іншою дивовижною кривою є парабола (мал. 7).
 |
| Мал. 7 |
1. Параболічне дзеркало.
Якщо вигнути смужку добре відполірованого металу по дузі параболи, то промені джерела світла, розміщеного у фокусі, відбившись від смужки, підуть паралельно осі. І навпаки, паралельний пучок світлових променів параболічна дуга збирає у фокусі (мал. 8).
 |
| Мал. 8 |
На цій властивості параболи грунтується дія параболічних дзеркал, які використовуються в автомобільних фарах, прожекторах, телескопах оптичного та радіо- діапазонів.
2. Камінь, кинутий під кутом до горизонту, летітиме по кривій, котру наз. парабола (також артилерійські снаряди, вода з брандсбойта, …). Але такою траекторія буде при русі в порожнечі (при відсутності повітря).
 |
| Мал. 9 |
Якщо стріляти з гармати з однією і тією ж швидкістю в різні напрямки і під різними кутами до горизонту, то отримаємо сукупність точок, куди долітатимуть снаряди. А місця, куди кулі не долітатимуть, відділяються кривою, котру наз. параболою безпеки (мал. 10).
 |
| Мал. 10 |
Гіпербола.
Проводячи січну через конус, ми отримуємо ще одну дивовижну криву – гіперболу (мал. 11).
 |
| Мал. 11 |
Циклоїда.
Яку траекторію описує точка ободу колеса автомобіля або велосипеда в процесі руху?
Мабуть кожен знає відповідь на поставлене запитання – це циклоїда (мал. 12).
 |
| Мал. 12 |
Багатьом відома інша назва цієї кривої – «брахістрохорна». Цю назву складено з двох грецьких слів: «найкоротший» та «час».
 |
| -брахістрохорна- |
ЗАДАЧА.
Яку форму слід надати ідеально відполірованому жолобу, щоб ідеальна металева кулька скотилася по ньому за НАЙКОРОТШИЙ ЧАС?
 |
| Мал. 13 |
Найкоротший шлях буде – прямолінійним жолобом. Але у задачі йдеться про найкоротший час. Г.Галілей передбачав, що жолоб найкоротшого часу – дуга кола, але він помилявся. Лише швейцарські математики – брати Бернуллі – точними розрахунками доказали, що жолоб слід вигинати по дузі перевернутої циклоїди (мал. 13). З тих пір циклоїду прозвали брахістрохорною, а доведення Бернуллі дало початок нової галузі математики – варіаційного числення.
Спіраль.
Уявімо собі довгу секундну стрілку, по котрій повзе з постійною швидкістю гусінь. В початковий момент вона знаходилась в центрі циферблату. Якою буде траекторія комахи?
 |
| Спіраль Архімеда в природі |
Крива, котру описує гусінь, називається спіраль Архімеда (на честь вченого, котрий вперше її дослідив).
 |
| Мал. 14 |
ЗАДАЧА.
Чи можливо за допомогою циркуля та лінійки розділити на три рівні частини довільний кут?
Дана задача має розв’язок лише для кутів 180˚, 135˚, 90˚; для інших кутів точного розв’язку не існує. Але, якщо користуватися акуратно намальованою архімедовою спіраллю, то дану задачу можна розв’язати (мал. 14).
Доцільно прочитати